m(4, 3√3 k)， N(-4, 3√3 \/ k)， 其中k = tan(θ\/2)。坐标已被“灵感笔记”中记录的半角公式化简得极致简洁。
他深吸一口气，开始最后的冲锋——求直线mN的方程。
他采用两点式。设m(x1, y1), N(x2, y2)，则直线mN的斜率： k_mN= (y2 - y1) \/ (x2 - x1) = [ (3√3 \/ k) - (3√3 k) ] \/ [ (-4) - 4 ] = [ 3√3 (1\/k - k) ] \/ (-8) 化简：= [ 3√3 ( (1-k2)\/k ) ] \/ (-8) = - (3√3 (1-k2)) \/ (8k)
接着，他用点斜式，取点m(4, 3√3 k)： y- 3√3 k = k_mN * (x - 4) 即 y- 3√3 k = [ - (3√3 (1-k2)) \/ (8k) ] * (x - 4)
这个方程看起来依然复杂，含有参数k。但他记得目标：证明mN恒过定点。这意味着这个方程应该能整理成某种形式，其中参数k的影响会被抵消，或者方程始终满足某个固定点的坐标。
他尝试着将方程去分母，两边同时乘以8k： 8k(y - 3√3 k) = -3√3 (1-k2) (x - 4) 展开左边：8k y - 24√3 k2 = -3√3 (1-k2)(x-4) 展开右边：= -3√3 (x-4) + 3√3 k2 (x-4)
将含有k2的项移到一边，不含k的项移到另一边： 8k y- 24√3 k2 - 3√3 k2 (x-4) = -3√3 (x-4) 合并k2项：8k y - 3√3 k2 [ 8 + (x-4) ] = -3√3 (x-4) \/\/ -24√3 = -3√3 * 8 即：8k y - 3√3 k2 (x + 4) = -3√3 (x-4)
这个方程对于任意k（即对于椭圆上任意点p）都要成立，并且要导致mN过定点。观察这个式子，它含有k的一次项和二次项。一个思路是将其视为关于k的方程，要求它对所有k都成立，那么k的各次幂的系数必须分别等于零？（但这似乎不对，因为k是变化的）
他正在苦苦思索如何从这个方程中挖掘出“恒过定点”的信息，一个身影悄无声息地停在了他的桌旁。
凌凡下意识地抬头，映入眼帘的是林天那张总是带着几分懒散和漠然的脸。林天似乎刚睡醒，眼角还带着一丝惺忪，但那双眼睛看向凌凡草稿纸时，却闪过一抹锐利的光。
“椭圆定点题？”林天的声音很平淡，听不出情绪，他目光扫过凌凡那写满了化简过程和最终那个复杂方程的草稿纸，眉头几不可察地微微蹙起，“你这么做……不觉得太麻烦了吗？”
凌凡的心猛地一跳。麻烦？他觉得自己已经运用了灵感，化简了坐标，每一步都逻辑清晰，怎么在林天的眼里，就成了“麻烦”？
一种混合着不服气和不自信的情绪涌上来。他稳住心神，尽量平静地问：“那……应该怎么做？”
林天没直接回答，而是随手从凌凡笔袋里抽了一支铅笔，俯下身，在凌凡草稿纸的空白处画了起来。
他没有设参数θ，也没有进行任何三角变换。
他只是很简单地设点p(x0, y0)，且满足椭圆方程 x02\/4 + y02\/3 = 1。
然后，他写： 直线Ap方程：A(-2,0), p(x0,y0)， 两点式求得方程。 求m点：m是Ap与x=4的交点。直接将x=4代入Ap方程，用x0, y0表示出m的纵坐标y_m。 同样， 直线bp方程：b(2,0), p(x0,y0)。 求N点：N是bp与x=-4的交点。将x=-4代入bp方程，得到N的纵坐标y_N。
林天写得很快，表达式看起来确实比凌凡的三角形式要复杂一些，涉及x0, y0。凌凡心中稍安，觉得似乎也没简单到哪里去。
但接下来，林天的操作让凌凡瞪大了眼睛。
林天并没有去求直线mN的方程！
他只是在草稿纸上写下一行字： 【欲证mN过定点，可考虑mN的任意两位置交点】
随即，林天特殊取点！他并不是随机取，而是选择了两个极其特殊的p点位置。
第一种情况：他取p为椭圆上顶点（0, √3）！【因为椭圆y轴上的点计算最简单】 代入计算： p(0,√3) Ap方程：过