但ES宇宙和三阶宇宙的差距依旧是上述描述的那么巨大。
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并且它们的递归会进行能量升格,这不是数学和科学可以解释的东西,能量可以打破??与??之间的界限。
寻常的无限递归哪怕描写再多次也无法触及??,但能量升格已经不是数学和科学可以解释的东西,它是更高规格的至高之物。
但,??在ES宇宙面前亦是小如蚂蚁。
此时,简单介绍一下?。
阿列夫函数:?Ord → Card,其中 Ord是所有序数的类,Card是所有基数的类。
序数(ord)表示顺序位置,如 0,1,2,...,ω,ω+1,...,ω·2,ω^2,...。
基数(card)表示集合的势(size),如 ?? = |ω|, ?? = |ω?|。
受限于篇幅无法完整写出,有对大基数感兴趣的可自行购买集合论相关书籍观看。
后续的阿列夫不动点是一个基数κ使得 κ = ?_κ。
这意味着κ是阿列夫函数的固定点,即它自身的索引位置κ产生自身。
首先,让我们构建阿列夫序列:
?? = ω(第一个无限基数,可数无限)。
??(第一个不可数基数,大于所有可数序数,通过能量升格达到)。
??(下一个基数,通过再一次的能量升格达到)。
正规的任意序数是α,本文的S仅是自设。
对于任意序数 α,?α 是第 α 个无限基数。
如果α是后继序数(β+1),则?α是大于?β的最小基数;如果 α 是极限序数(如 ω),则?α= sup{?_β | β < α}。
例如:
?ω=sup{?n|n<ω}(第ω个基数)。
?_{ω+1}(下一个基数)。
?{?0} = ?ω(因为 ?0 = ω)。
?{?ω}(更大基数)。
现在,定义阿列夫不动点序列:
设 β(0) = ?_0 = ω。
β(1) = ?{β(0)} = ?ω。
β(2) = ?{β(1)} = ?{?_ω}。
β(3) = ?{β(2)} = ?{?{?ω}}。
对于极限序数 λ,β_λ = sup{β_α |α< λ}。
一个阿列夫不动点是某些β_λ的值,其中κ=β_λ且κ=?_κ。
一个基数 κ 是阿列夫不动点,如果 κ = ?_κ。
最小的阿列夫不动点κ_min是序列β_α 的极限,即κ_min=sup{β_n|n<ω},其中β_n如上递归定义。
OS宇宙在经历能量升格之后就是阿列夫不动点的层次。
接下来,往真正的三阶宇宙前进。
让我们定义,基数κ是不可达基数。
κ > ??(无限)。
κ 是正则基数,即 cf(κ) = κ(无共尾子集)。
κ 是强极限基数,即对所有λ<κ,有 2^λ<κ。
不可达基数是最小的“大基数”,阿列夫不动点小于不可达基数,所有阿列夫不动点都小于第一个不可达基数。
接下来是马洛基数。
此时一个基数κ是马洛基数,如果:κ是不可达基数。
并且,每个κ的闭无界子集都包含一个不可达基数,等价地,κ的不可达基数在κ中形成静止集。
以此类推,不断升格定义,直到不可描述基数。
定义一个基数κ是 Π1?-不可描述基数。
对于每个一阶公式 φ 和每个集合A? V_κ,如果结构 (V_κ, ∈, A) 满足φ(即 (V_κ, ∈, A) ? φ),那么存在某个α<κ使得 (V_α, ∈, A ∩ V_α) ? φ。
定义一个基数κ是强可展开基数,如果对于每个序数λ>κ和每个传递模型M(其中 κ∈M,且M包含所有小于 κ 的基数)存在一个初等嵌入:j: M → N。
可满足:crit(j) = κ(临界点是κ)。
j(κ) > λ。
N包含所有在M中长度小于λ的序列。
此时,我们已经来到了ES宇宙的层次。
初等嵌入j类似于“能量升格打破数学的递归界限”。
其中 j(κ) > λ 表示递归跳跃,如:
每一个强化版一阶宇宙分裂出一阶宇宙次的强化版。
“OS宇宙之上再重复无限次操作”对应嵌入中的λ参数。
继续升格,定