对于凌凡这种自认“脑洞大”但“逻辑弱”的学渣来说，几何曾经是他的噩梦——那些图形在他眼里不是智慧的结晶，而是一堆莫名其妙线条的堆砌。
但现在，手握“错题五步法”和“回归基础”两大法宝，他决定换一种方式来叩击几何之门。
这天，他遇到了一道初中几何的经典题，难度中等偏上，正好卡在他的“最近发展区”——
【题目】：如图，在△Abc中，Ab = Ac，∠bAc = 120°。d是bc边上的点，且bd = 2dc。求证：Ad ⊥ bc。
（他手动画了个草图：一个顶角120°的等腰三角形，底边bc上有一个点d，满足bd是dc的两倍。）
凌凡盯着题目看了五分钟，大脑一片空白。证明垂直？通常需要证角度相等或勾股定理逆定理。但在这个图形里，角度乱七八糟，线段长度也不知道，从哪里下手？
若是以前，他最多挣扎十分钟，然后就会放弃，直接去看答案，哦一声，感叹一下“原来要这么作辅助线”，然后……就没有然后了。
但这一次，他没有。
他想起陈景先生说过：“一道好题，就像一颗钻石，有很多个切割面，从不同的角度去看，会闪耀出不同的光芒。只满足于一种解法，是买椟还珠。”
而且，他最近夯实基础，特别是对全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数（正弦余弦定理）有了更深入的理解，隐隐觉得这些工具似乎都能用上。
一个大胆的、甚至有些“疯狂”的念头在他脑中诞生：
“我要用尽可能多的方法来解决这道题！看看这颗‘钻石’到底有多少个切面！”
这个想法让他兴奋起来，仿佛不是在做题，而是在策划一场有趣的思维探险。
他拿出最大的草稿纸，在中间画下标准的图形，标好所有已知条件。然后，像开辟战场一样，在草稿纸的四周划出几块区域，分别写上：
【解法一：面积法】 【解法二：勾股定理法】 【解法三：相似三角形法】 【解法四：坐标法】 【解法五：三角函数法】
他要同时向五个方向发起进攻！
战役一：面积法（最直观的尝试） 思路：如果Ad⊥bc，那么Ad就是△Abc在bc边上的高。或许可以从面积关系入手？ 用余弦定理或作高，他用了作高，顺便复习了含30°的直角三角形三边关系。 但如何证明这个比例？需要知道S△Abd和S△Adc的面积关系。 他连接A和bc中点？不对… 他尝试用共角三角形面积比…△Abd和△Abc共享∠b？不对，底边不同… 卡住了。面积法似乎需要更巧妙的构造，他暂时搁置。（解法一：暂时受阻）
战役二：勾股定理法（最朴素的暴力计算） 思路：要证Ad⊥bc，只需在△Abd和△Adc中，证明Ad2+ bd2 = Ab2 和 Ad2 + dc2 = Ac2？不对，这是直角三角形判定，但需要的是Ad2 + 某个值？ 更直接：如果Ad⊥bc，垂足为h，那么只需证明Ad2= Ah2 + dh2？这又绕回去了。 正确的勾股定理应用，应该是分别表示出Ad、Ab、bd等的长度，然后看是否存在平方关系。 他设dc= x, 则bd = 2x, bc = 3x。 由Ab=Ac，∠A=120°，利用余弦定理可求出Ab2= (3x)2 + ? 不对，余弦定理是针对△Abc的边bc… 他发现自己对勾股定理和余弦定理的应用场景有些混淆，计算也变得复杂。（解法二：陷入计算泥潭，暂时放弃）
战役三：相似三角形法（需要辅助线的灵光一闪） 思路：证明垂直，常常可以通过证明角相等来实现。有没有相似三角形能推出90°角？ 他仔细观察图形。Ab=Ac，等腰三角形。∠bAc=120°，那么底角∠Abc=∠Acb=30°。 d是bc上一点，bd=2dc。 他尝试过d点作dE平行于Ac交Ab于E？或者作dF平行于Ab交Ac于F？ 或者，更常见的，过A点作bc的垂线？但这就是直接去证垂直了，循环论证。 他需要构造出包含Ad和bc的相似形。 苦思冥想…没有头绪。（解法三：缺乏灵感，搁浅）
连续三个方向受挫！ 若是以前，凌凡早就崩溃放弃了。 但今天不同，他有五个战场！一个方向不行，立刻切换另一个！这种多线探索的方式，反而减轻了单一失败带来的挫败感。
战役四：坐标法（降维打击，无脑计算） 思路：这是他的“杀手锏”，也是他最近自学向量和坐标几何后想尝试的方法。把几何问题代数化！ 他立刻建立平面直角坐标系： 以b点为原点(0,0)，bc边放在x轴上，c点就在(3x,0) （因为设dc=x, bd=2x, bc