数学
沈括的《积隙术和会圆术》。沈括在数学的许多领域内都取得了许多成就，《隙积术和会圆术》记所记的隙积术和会圆术就是他的两大重要研究成果 [68]。沈括的研究开了中国垛积术研究的先河。会圆术是计算圆弧的弦、矢（弧的高）与孤长间数量关系的数学公式。在中国数学史上，沈括第一个利用弦、矢求出了孤长的近似值。
民族
播报
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北宋和唐的民族政策不同，有契丹族建立的辽政权，都城在临潢（内蒙巴林左旗附近）在它的西北边，有党项族（羌族的一支）建立的夏政权（西夏），都城在兴庆（宁夏银川市）。此外，还有云南的大理，西藏的吐蕃以及西北的高昌、龟兹、于阗等政权。
契丹
宋太宗在灭北汉之后，曾经两度出动大军征辽，企图把契丹贵族势力逐出长城，可是全都失败了。对党项贵族的战争也多失利，民族矛盾相当严重。
从宋对辽、夏的关系来说，每次战争的结果，宋方都是屈膝求和，并奉献出大量的银、绢。如景德元年（1004），契丹大举攻宋，一直打到黄河北岸的澶州（又名澶渊，今河南濮阳县西南）附近，后于景德二年（1005）与辽国缔结澶渊之盟，宋方每年给契丹银十万两，绢二十万匹，史称“岁币”。
西夏
宋仁宗康定元年到庆历二年（1040年～1042）期间，西夏皇帝元昊对宋方又发动多次大规模的军事进攻，双方损失都很大，结果在1044年订立和约。宋万每年给西夏银七万二千两，绢十五万三千匹，茶叶三万斤，叫做“岁赐”。契丹乘机要挟，宋方又增岁币银绢各十万，先后合计五十万两匹。
宋夏和约订立后，西北边境平静了二十多年。到1066年（宋英宗治平三），西夏又开始挑衅，战争又不断地在进行着。战乱使黄河北面的农民遭到迫害，弄得无家可归，到处流浪。
回鹘
回鹘（hu胡）即唐之回纥。唐末，回鹘政权衰落，为黠戛斯（即吉尔吉斯）人摧毁。少部分回鹘人移居唐的边境，绝大部分分三支向西南迁徙：一支南移河西地区，称河西回鹘：一支西去西域，以西州（即高昌，今新疆吐鲁番）为中心，称西州回鹘或高昌回鹘；另一支远徙葱岭以西，称葱岭西回鹘 [93]。
河西回鹘
河西回鹘分布在甘（今甘肃张掖）、沙（敦煌西）、凉（武威）、秦（天水）等州和贺兰山、额济纳河一带，以甘州为中心，亦称“甘州回鹘”。后来西夏兴起，攻占了甘、凉、瓜、沙等州，河西回鹘又附属于西夏。西夏为蒙古灭后，河西回鹘又归属蒙古。
西州回鹘
西州回鹘在立足之后，向西扩展。北宋初年，其辖境已经西至龟兹（新疆库车），东邻沙州，北越天山，南至大漠。它在这一地区建立了高昌封建政权，都于高昌（吐鲁番东南）。西辽建立后，高昌政权成了西辽的附庸，西州回鹘改称畏兀儿。蒙古兴起后，又归附于蒙古。
葱岭西回鹘
葱岭西回鹘主要分布在今楚河（在今中亚地区）一带和中国新疆西部。北宋初，其势力逐渐强盛，建立了喀喇汗王朝，首都在八剌沙衮城（中亚托克马克东南）。十二世纪末，为西辽所灭。
喀喇汗国以畜牧业为主，兼营农业、狩猎。其文化较发达，重要城市喀什噶尔（新疆喀什）是中亚着名的文化中心。
吐蕃
晚唐，吐蕃内部纷争，政权瓦解，分裂为众多部族，大者数千家，小者百十家，各有首领，不相统属，散布在今青海、西藏、甘肃、宁夏等地。其中一些部族相继归附于中原王朝，称作“熟户”，其余的称作“生户”。北宋建立后，同吐蕃各部基本上保持友好关系。
十一世纪初，居于今青海东部的吐蕃唃厮罗部逐渐兴起，成为吐蕃最强大的部族，在宗哥城（今青海西宁东南）建立政权，辖有湟水流域及今青海、甘肃部分地区。唃厮罗接受宋廷的封赐，与宋保持密切关系，对抗西夏。治平二年（1068），唃厮罗死。其子孙继续奉行与宋修好、抗击西夏的政策，政权延续约百年，后因内讧而崩溃。
大理
后晋天福二年（937）段思平建立的“大理国”是一个以白族为主体的政权。它以洱海地区为中心，辖有今云南全境和四川西南境，分为八府、四郡、三十七部。境内居住着众多的少数民族。
大理政权承袭了南诏以来的各项制度，实行封建农奴制的统治。对外同四邻基本上没有武装冲突，因此社会经济、文化发展较快。畜牧业、农业、手工业均相当发达。为适应发展的需要，大理人还以汉字为基础，创造了一套本国内通用的文字，叫“白文”或“僰（bo勃）文”，流传了二百多年。
北宋初年，大理与宋朝之间基本上没有往来。熙宁九