公式所揭示的深刻内涵。

    对高维黎曼流形m，Gauss曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为Gauss-Bo被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的Euler示性数所决定。它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为Gauss_Bo-陈公式。

    对紧致无边的偶数维流形m2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的Euler示性数满足

    (-l)nX(m2n)0 (1)(当截面曲率为负时，上式为严格不等式)。

    这就是著名的Hopf猜想。

    迄今，Hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作：Bourguignon-KarcherPl，donnelly-Xavier以及Jost-Xin间。

    Borel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。

    如果，流形具有KShler度量，在负截面曲率情形，猜想已被Gromov所证实，在非正截面曲率情形则被Jost-Zuc以及Cao-Xavier所证实。”

    ……

    “第三个问题，卡普兰斯基第六猜想。”

    “卡普兰斯基第六猜想是卡普兰斯基在1975年提出的关于霍普夫代数的十个猜想之一，也是目前霍普夫代数乃至代数学领域研究的前沿问题之一。霍普夫代数起源于二十世纪四十年代，主要是由霍普夫对Lie群的拓扑性质的公理性研究而建立的一种代数系统。

    二十世纪六十年代，Hochschild-mostow在研究Lie群的应用及后续研究中，发展和丰富了霍普夫的这一代数系统的理论，奠定了霍普夫代数理论的基本框架。

    二十世纪八十年代，随着drinfeld和Jimbo等数学家建立的量子群理论的兴起，人们发现量子群是一类特殊的霍普夫代数。量子群理论与众多其他数学领域，如低维拓扑、表示论以及非交换几何以及统计力学精确可解模型理论、二维共形场论、角动量量子理论等有着紧密的联系。

    量子群理论的兴起也促进了霍普夫代数理论的迅猛发展，围绕卡普兰斯基的十个猜想取得了许多精彩的研究成果，导致其中若干猜想的解决或部分解决。

    卡普兰斯基第六猜想设H是代数闭域上的有限维半单霍普夫代数，则H的任一不可约表示的维数整除H的维数.

    这一猜想与有限维半单霍普夫代数的分类紧密相关，吸引了众多代数学家的兴趣。

    Zhu在1993年利用特征标理论研究了卡普兰斯基第六和第八猜想，得到了部分结果。

    他证明了：若char4=0，H半单且R(H)在H的对偶代数的中心中，其中R(H)为H的不可约特征标所张成的JI*的子代数，则卡普兰第六猜想成立。

    Nichols和Richmond在1996年通过分析H的格罗滕迪克群的环结构证明:若H是余半单的且有一个2-维单余模，则H是偶数维的。

    1998年，Etingof和Gelaki在研究拟三角半单余半单霍普夫代数的结构和提升问题时证明w:若丑是半单余半单Hopf代数，d{H)是H的drinfelddouble，则d(H)的不可约表示的维数整除H的维数。

    由此他们证明：如果H是拟三角的半单余半单霍普夫代数，则H的不可约表示的维数整除的。”